La ligne de partage des eaux

Personnes impliquées : Gilles Bertrand.

La ligne de partage des eaux est une notion qui apparaît dès le XIX$^{\mbox{ème}}$ siècle avec, notamment, les travaux de J. C. Maxwell. Elle est, depuis une vingtaine d'années, l'objet de nombreuses études motivées par des applications en analyse d'images. De fait, elle constitue l'un des principaux concepts de la Morphologie Mathématique et, dans ce cadre, elle est considérée comme un des opérateurs les plus puissants permettant de segmenter une image.

Cependant, à notre connaissance, il n'existait pas de cadre formel permettant de disposer d'une définition précise de la ligne de partage des eaux et de mettre en évidence quelques-unes de ses propriétés. Bien au contraire, des propriétés qui nous semblent fondamentales ne sont pas satisfaites par les opérateurs existants. En particulier ces opérateurs ne préservent pas le "contraste" de l'image, les lignes obtenues par ces opérateurs peuvent être mal positionnées...

Le but de ce travail est de montrer qu'un tel cadre existe et que l'approche topologique de la ligne de partage des eaux proposée en ⁵permet non seulement de satisfaire ces propriétés fondamentales mais également d'obtenir plusieurs théorèmes non triviaux. En particulier, nous montrons qu'une fonction $W$ est une ligne de partage des eaux d'une fonction $F$ si et seulement si $W \leq F$ et $W$ préserve le contraste entre les régions minimales de $F$; le contraste entre deux régions minimales $M$ et $M'$ étant défini comme l'altitude minimum à laquelle on est obligé de monter pour aller de $M$ à $M'$ (voir Fig. 16).
Ce résultat nous paraît d'autant plus intéressant qu'il n'est pas possible d'avoir une telle caractérisation dans le cadre des transformations topologiques ``classiques'' (transformations homotopiques).

Figure 16: (a): un objet binaire $X$, (b): une LPE de $X$, (c): une fonction $F$ comportant trois régions minimales, (d): une LPE de $F$, le contraste entre les régions minimales de $F$ est préservé.

(a)	(b)

(c)	(d)

Résultat : publications [,], voir aussi [,,].