Partie de J.-F. Bercher, à rendre sur une copie séparée. Durée : 1h30

Sans documents,

sauf dictionnaires de langue.

Exercice 1 : On considère le filtre idéal, de fonction de transfert complexe

• [1-a] Calculez la réponse impulsionnelle h(t), à temps continu, correspondant à ce filtre.
• [1-b] Déduisez en la réponse impulsionnelle à temps discret h(n), et calculez un filtre causal, à 9 coefficients, par la méthode des fenêtres, permettant d'approcher le filtre idéal. Vous utiliserez une fenêtre de pondération rectangulaire.
• [1-c] Donnez l'équation aux différences et la réponse impulsionnelle du filtre synthétisé. S'agit-t'il d'un filtre à réponse impulsionnelle finie ou infinie ?
• [1-d] Quel est, qualitativement, l'effet de la troncature de la réponse impulsionnelle sur la fonction de transfert effectivement réalisée ? Que se passe t'il lorsqu'on augmente le nombre de coefficients du filtre ?
• [1-e] On considère un signal quelconque x(n), de transformée de FOURIER X(f). On note z(n) = [h*x](n) la sortie du filtre idéal. Quelle est la fonction réalisée par ce filtre ? Quelle est par exemple la sortie associée à x(n) = Acos(2pf₀ n) ? On forme maintenant le signal y(n) = x(n)+j z(n). En vous donnant un exemple graphique pour X(f), représentez le module de la transformée de FOURIER Y(f).

La fréquence de coupure est f_c = 2kHz, la fréquence définissant la bande atténuée est f_a = 4kHz, et la fréquence d'échantillonnage est F_e = 16kHz.

Vous effectuerez la synthèse à partir d'une approximation de Butterworth dans le domaine analogique. Les fonctions d'approximation sont de la forme 1/D(p), avec

• [2-a] Donnez les valeurs des pulsations normalisées.
• [2-b] Transposez le gabarit en un gabarit analogique et calculez l'ordre du filtre de Butterworth à utiliser.
• [2-c] Calculez les coefficients du filtre numérique.
• [2-d] Donnez l'équation aux différences du filtre synthétisé. S'agit-t'il d'un filtre à réponse impulsionnelle finie ou infinie ?
  

On désire maintenant synthétiser un filtre passe-bande de pulsation de coupure basse w₁ = 3p/8 et de pulsation de coupure haute w₂ = 5p/8, à partir du filtre synthétisé précédemment.

• [2-e] Donnez et représentez le gabarit numérique correspondant. Calculez et donnez les coefficients du filtre.
• [2-f] Donnez l'équation aux différences correspondante.

Rappels

Trigonométrie

Transposition passe-bas w_c ® passe-bande (coupure basse w₁, haute w₂)