Exercice 1 : On considère le filtre idéal représenté sur la figure suivante :

• [1-a] Calculez un filtre causal, à 9 coefficients, par la méthode des fenêtres, permettant d'approcher le filtre idéal. Vous utiliserez une fenêtre de pondération rectangulaire.
• [1-b] Donnez l'équation aux différences et la réponse impulsionnelle du filtre synthétisé. S'agit-t'il d'un filtre à réponse impulsionnelle finie ou infinie ?
• [1-c] Quelle est la phase de la fonction de transfert en fréquence ?

Exercice 2 : On cherche à synthétiser un filtre passe-bas numérique respectant le gabarit suivant :

La fréquence de coupure est f_c = 1kHz, la fréquence définissant la bande atténuée est f_a = 2kHz, et la fréquence d'échantillonnage est F_e = 16kHz.

Vous effectuerez la synthèse à partir d'une approximation de Butterworth dans le domaine analogique. Les fonctions d'approximation sont de la forme 1/D(p), avec

• [2-a] Donnez les valeurs des pulsations normalisées.
• [2-b] Transposez le gabarit en un gabarit analogique et calculez l'ordre du filtre de Butterworth à utiliser.
• [2-c] Calculez les coefficients du filtre numérique.
• [2-d] Donnez l'équation aux différences du filtre synthétisé. S'agit-t'il d'un filtre à réponse impulsionnelle finie ou infinie ?
  

On désire maintenant synthétiser un filtre passe-bande de pulsation de coupure basse w₁ = 3p/8 et de pulsation de coupure haute w₂ = 5p/8, à partir du filtre synthétisé précédemment.

• [2-e] Donnez et représentez le gabarit numérique correspondant. Calculez et donnez les coefficients du filtre.
• [2-f] Donnez l'équation aux différences, représentez la structure d'implantation, sous la forme d'une structure DN, ou de la cascade de structures DN.

Vous disposez d'un langage de programmation permettant de définir des variables de tous types, de tester des conditions, par exemple A==B, (égalité) A>B (inégalité), d'effectuer des boucles pour/fin pour (for), des boucles tant que / fin tant que (while), et de définir des fonctions (plusieurs arguments d'entrée, un argument de sortie).

• [3-a] Écrire l'équation aux différences entre la sortie y(n) et l'entrée x(n) correspondant à la fonction de transfert

  H(z) = b0 + b1z-1 + b2z-2 1 - a1z-1 - a2z-2

• [3-b] Écrire une fonction calculant la sortie du filtre y à l'instant n si les paramètres d'entrée sont x, l'entrée à l'instant n, x1 et x2 les entrées aux instants n-1 et n-2, y1 et y2 les sorties aux instants n-1 et n-2, et b0, b2, b2, a1, a2 les paramètres du filtre. L'appel de la fonction est ainsi de la forme y=filtre(x,x1,x2,y1,y2,a1,a2,b0,b1,b2).

• [3-c] Vous disposez d'une variable Entrée qui est à 1 tant que le flux d'entrée x(n) existe, d'une fonction qui permet de faire l'acquisition d'une nouvelle valeur : x=in() et d'une fonction qui permet de diriger la sortie calculée vers un port de sortie out(y). Écrire la boucle qui permet d'effectuer l'acquisition, le calcul du filtrage et la sortie des valeurs filtrées. Vous prendrez les éventuelles conditions initiales à 0.
  

Si vous ne désirez pas utiliser le << méta-langage >> décrit brièvement ci-dessus, vous pouvez proposer un implantation dans le langage de votre choix (Basic, Fortran, Pascal, C, C++, Assembleurs, langage de script Matlab, Perl...)

Rappels

Trigonométrie

Transposition passe-bas w_c ® passe-bande (coupure basse w₁, haute w₂)