Soutenance de thèse de Nicolas Boutry

La soutenance de thèse de Nicolas Boutry aura lieu le 14 décembre 2016 à 14h00 à ESIEE Paris, Noisy-le-Grand (93).

"Une étude du bien-composé à la dimension n''

Résumé de la thèse :

Le processus de discrétisation faisant inévitablement appel à des capteurs, et ceux-ci étant limités de par leur nature, de nombreux effets secondaires apparaissent alors lors de ce processus; en particulier, nous perdons la propriété d'être "bien-composé" dans le sens où deux objects discrétisés peuvent être connectés ou non en fonction de la connexité utilisée dans l'image discrète, ce qui peut amener à des ambigüités. De plus, les images discrétisées sont des tableaux de valeurs numériques, et donc ne possèdent pas de topologie par nature, contrairement à notre modélisation usuelle du monde en mathématiques et en physique.

Perdre toutes ces propriétés rend difficile l'élaboration d'algorithmes topologiquement corrects en traitement d'images: par exemple, le calcul de l'arbre des formes nécessite que la representation d'une image donnée soit continue et bien-composée; dans le cas contraire, nous risquons d'obtenir des anomalies dans le résultat final.

Quelques représentations continues et bien-composées existent déjà, mais elles ne sont pas simultanément n-dimensionnelles et auto-duales. La n-dimensionalité est cruciale sachant que les signaux usuels sont de plus en plus tridimensionnels (comme les vidéos 2D) ou 4-dimensionnels (comme les CT-scans). L'auto-dualité est nécéssaire lorsqu'une même image contient des objets à contrastes divers.

Nous avons donc développé une nouvelle façon de rendre les images bien-composées par interpolation de façon auto-duale et en n-D; suivie d'une immersion par l'opérateur span, cette interpolation devient une représentation auto-duale continue et bien-composée du signal initial n-D. Cette représentation bénéficie de plusieurs propriétés topologiques fortes: elle vérifie le théorème de la valeur intermédiaire, les contours de chaque coupe de la représentation sont déterminés par une union disjointe de surfaces discrètes, et ainsi de suite.